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問題 I
問1 質量M、長さaの一様な2本の棒AB、CDが端BとCで固定され、互いに自由に回 転できるようになっており、さらに棒ABは図のように一端 Aで自由に回転できるよ うに固定されている。この2本の棒を鉛直面内で振動させる。次の設問に答えなさい。
鉛直方向と2本の棒のなす角をそれぞれ図のようにθ(t)、ϕ(t)とする。また重力定数 はgとせよ。
x y
A
B C
D G P o
d!
!
!
!
1-1. 棒AB の運動エネルギーKAB を考えよう。A 端からの距離が σ のところにある長 さdσ の微小部分がもつ、点 A の回りの回転エネルギーを求め、これを σ について 0≤σ ≤aにわたって積分することにより、KABはθ の時間微分θ˙を使って
KAB = 1
2 I θ˙2 (1)
の形に表せる。定数I を求めよ。
1-2. 図のように点Aを原点として座標軸x、yを考えると、棒CD上の点Pの座標(x, y) は棒CDの重心Gの位置座標(xG, yG)を使って
x=xG+ξ sinϕ, y=yG−ξ cosϕ, (−a
2 ≤ξ ≤ a
2) (2)
と表せる。棒CDの運動エネルギーKCDが、重心Gのまわりの回転エネルギーRCD と重心Gの並進運動のエネルギーTG によってKCD = RCD +TG と表せることを示 し、RCDが前問のI を使って
RCD = 1
8 I ϕ˙2 (3)
と書けることを示せ。
1-3. 棒CDの重心Gの位置座標(xG, yG)をθ、ϕを使って表し、これから重心Gの並進 運動のエネルギーTGをθ、ϕとその時間微分θ˙、ϕ˙ を使って表せ。
1-4. この力学系のラグランジアンLをθ、ϕ、θ˙、ϕ˙ を使って表せ。
次に棒が微小振動する場合を考えよう。
1-5. 微小振動の場合はラグランジアンL においてθ、ϕとθ˙、ϕ˙ の3次以上の項を小さい として無視することができる。Lをこのように近似した後、θ とϕに対するオイラー・
ラグランジュの運動方程式を求めよ。
1-6. 前問の運動方程式の解は次の形に求めることができる。
θ(t) =α cos ( ωt+δ),
ϕ(t) =β cos ( ωt+δ) (4)
α、β、δ、ωは定数である。解が恒等的にゼロでないための条件を使って、基準振動数 ωの異なる値を２つ求めよ。
問題 II
図に示すように、真空中で無限に長い導線に電流I1 が流れている。導線と同じ平面内に長 さa、幅b、1周の抵抗がRである長方形の回路ABCDが導線と平行に置かれている。回路 の辺 CDと導線の距離はLである。このとき、次の問いに答えよ。ただし、真空の透磁率を µ0 とする。
問1 導線から距離rにおける磁束密度の大きさBを求めよ。ただし、回路ABCDの影響は ないものとする。
問2 長方形の回路ABCDに大きさI2の電流を時計回りの方向に流した場合、回路に作用す る合力を求めよ。
問3 回路ABCDを貫く磁束Φを求め、回路と導線との相互インダクタンスM を求めよ。
次に、回路ABCDを同一平面内で導線から垂直方向に一定速度vで遠ざける場合を考 える。
問4 回路に生じる起電力および回路を等速で動かすのに必要な力を求めよ。
問5 このときの仕事率をもとめ、この仕事率が回路に発生する単位時間当たりの熱エネル ギーに等しいことを示せ。
I
1C A B
D
a
b
L
v
問題 III
問1 図のような障壁の高さがV0 で、幅がaであるような1次元のポテンシャル障壁に左か ら入射するエネルギーE(E > V0)を持った質量mの粒子を考える。
0
V
V0
a x
1-1. 障壁の外と中で場合分けして、それぞれの領域での粒子の波動関数を求めよ。但し波 動関数の規格化はしなくてよい。
1-2. 1-1で求めた波動関数の係数同士の関係を波動関数が x= 0, aで滑らかにつながらな くてはいけないことから求め、行列を使って係数同士の関係を示せ。
1-3. 左からエネルギーE(E > V0)をもって入射する粒子の透過と反射を考える。
(a) この粒子の透過率T と反射率Rを求めよ。
(b) E > V0 の時、古典的には反射率は0であるが、量子論では一般に0とはならない。
どのようなE ならば反射率が0 となるか求めよ。
問2 図のようなx=±aで無限の大きさの障壁をもつ1次元井戸型ポテンシャル中での電子 系の状態を考える。電子の質量はmとし、i番目(i= 1,2, . . .)の電子の座標をxi、そ の電子のスピンをsi とする。またその電子の規格化されたスピン波動関数をアップス ピンに対してはχ↑(i)とし、ダウンスピンに関しては、χ↓(i)とする。以下の問題では 電子間クーロン力は無視する。
a -
V
a x
2-1. １個の電子をこのポテンシャルに入れた時に、この電子が取りうるエネルギー固有値 とその波動関数の軌道部分を求めよ。但し波動関数は規格化して求めよ。
2-2. 次にこのポテンシャルに2個の電子を入れた時、基底状態が実現された。その基底状 態のエネルギーとその波動関数をスピン部分を含めて求めよ。
問題 IV
問1 ほとんど相互作用をしていない同種粒子からなる系が、絶対温度T の熱源と化学ポテ ンシャルµの粒子源に接している。1粒子状態のエネルギー準位を!j (j = 0,1,2,· · ·) としたとき、この粒子がFermi-Dirac (FD)、Bose-Einstein (BE) の各統計に従ってい る場合について、次の問に答えよ。以下ではkB はBoltzmann 定数を表すものとし、
β = 1/kBT とする。また、式中の複号は同順に上がFD統計、下がBE統計の場合を 表す。
1-1. この系の大分配関数Ξ が次のように与えられることを示せ。
Ξ = !∞
j=0
(1±e−β("j−µ))±1
1-2. エネルギー準位!kにある平均の粒子数n¯kが次のように与えられることを示せ。
¯
nk = 1
eβ("k−µ)±1
1-3. 上の n¯k を用いてこの系のグランドポテンシャルJ = −kBT logΞ を表せ。また、こ の系のエントロピーSが次のように与えられることを示せ。
S =kB
"∞ j=0
{−n¯jlog ¯nj ∓(1∓n¯j) log(1∓n¯j)}
問題 V
問1 地球の気候システムの長期的な安定性について以下の語句を用いて説明せよ．
暗い太陽のパラドックス，地球化学的炭素循環，スノーボールアース，プレート運動
問2 以下の用語から3つ選び，それぞれ150字程度で説明せよ．
(1) プレソーラー粒子 (2) 仮想地磁気極 (3) クレーター年代 (4) 消滅核種 (5) コンドリュール (6) ダイナモ作用 (7) 微惑星 (8) ラグランジュ点
問題 VI
問1 以下の問いに答えよ．解答には結果だけでなく，導出過程も記せ．
1-1. yをxの関数とする．次の微分方程式の一般解を求めよ．
y!! =−4y+ sin 3x.
1-2. xyz 空間のベクトル場A= (y−x)i+ (x−y)j +zkの発散と回転を求めよ. ここで i,j,kはそれぞれx, y, z方向の単位ベクトルを表す．
1-3. 次の条件を共に満たす複素数z の範囲を複素平面上に図示せよ．
Re(z2)<0, |z1/2|≤2 1-4. 次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ．
0 1 0 1 0 1 0 1 0
問2 事象Aはランダムに繰り返し起こり，微小時間∆tの間に事象Aの起こる確率はa∆t で表されるものとする．ここでaは正の定数である．以下の問いに答えよ．
2-1. 時間∆tの間に事象Aが一度も起こらない確率をa,∆tを用いて表せ．
2-2. nを自然数とする．時間 n∆t の間に事象A が一度も起こらない確率をn, a,∆tを用 いて表せ．
2-3. T を有限の時間幅とし∆t=T /nと置く．このときn→ ∞としたときの前問2-2の 確率の極限値をa, T を用いて表せ．ここで公式 lim
x→∞(1 + 1/x)x =eを用いて良い．
2-4. 事象Aの起こる時間間隔の平均値をaを用いて表せ．
